Inside Interesting Integrals: A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions, and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked, and ... (Undergraduate Lecture Notes in Physics)

Everyone gets stumped by integrals in their work. Most integrals simply can’t be done in closed form and those that can are relatively rare. Most of the time when you encounter a new integral you don’t know if you can do it, and the fun is in trying. Unless you can’t find a solution! It is very satisfying to see some of these kinds of integrals solved in closed form. This book contains a wide variety of very interesting integrals and their solutions, along with numerical integration of the integrals to explore their convergence properties. Nahin’s book is pretty much pure fun.

This book is new, but it arrived with the cover curling outward. This is unacceptable.

„Differenzieren ist Handwerk, Integrieren Kunst“ ist eine der Spruchweisheiten, aus einer Zeit da Analysis noch 'Höhere Mathematik' genannt wurde – in diesem Sinne ist das vorliegende Buch von Paul J. Nahin, emeritierter Professor für Electrical Engineering an der Universität von New Hamshire, eine Sammlung von exzellenten Kunstwerken. Wie der Untertitel nahelegt, handelt es sich um eine Kollektion raffinierter Tricks, listiger Substitutionen, und vielfältiger anderer erstaunlich verführerischer Manöver zur Brechung von fast 200 bestimmten Integralen aus Physik, Engineering und Mathematik, nebst zahlreichen anspruchsvollen Problem mit vollständigen und ausführlichen Lösungen – in Anhang.Darunter findet sich auch ein Kapitel über Differentiation unter dem Integral; einem der Lieblingstricks von Richard Feynman, wie dieser in seinen autobiographischen Schriften 'preisgibt'; damit brillierte Feynman bereits während seines Studiums am MIT, und diese Fähigkeit, Integrale zu 'knacken', vor denen andere schon längst kapituliert hatten, wurde zu einem Handwerkzeug, mit dem er immer wieder meisterlich bei der Ausarbeitung der QED jonglierte.Der Autor beschränkt sich auf bestimmte Integrale und führt gleich in Einleitungskapitel ein Beispiel für ein bestimmtes Integral an, das keine Stammfunktion (aus Standardfunktionen) besitzt, das aber – mit einem Symmetrisierungs- Trick – berechenbar ist. Allen Beispielen ist gemeinsam, dass sie auf den ersten Blick, viele davon auch auf dem zweiten, 'untrackable' erscheinen – aber nach einer geschickten Umformung, oder einer indirekten Betrachtung, zeigt sich dann doch ein Weg. Der Autor hat das Material aus einer großen Zahl von Originalarbeiten zusammengetragen und wunderschön aufbereitet, leider fehlt eine ebenso übersichtliche Bibliographie, die Quellenangaben und Verweise sind auf diversen Fußnoten verteilt.Diese Art von ‘Kunststücken‘ erfreuen sich offenbar großer Beliebtheit, Cornel Ioan Valean steuerte seine “(Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series“ (2019) bei, für die Nahin das Vorwort verfasst hat. Der Autor selbst hatte es sich zu Angewohnheit gemacht, Bücher und Artikel nach ‘neuen‘ Integralen durchzusehen, ferner erhielt er zahlreiche Zuschriften mit diversen Lieblingsintegralen – davon waren aber nur je interessant, die sich nicht, mit ein wenig Mühe, auf bereits bekannte Fälle zurückführen ließen. Daraus entstand die Idee zu einer Überarbeitung des Buches; die hier vorliegende zweite Ausgabe wurde um einige neue Abschnitte und zahlreiche weitere ‘challenge problems‘ ergänzt, letztlich wurde auch Layout verbessert – in der neue Ausgabe wurde etwa auf die grauen Formelkästen verzichtet.Das Buch will dabei den üblichen 'Integaltafeln' keine Konkurrenz machen, hier geht es nicht in erster Linie um den Wert eines bestimmten Integrals, sondern vor allem um den – mitunter verschlungenen – Weg, die Lösung aufzufinden; Vorkenntnisse sind kaum gefordert – von eine üblichen Einführungskurs Calculus (Analysis) natürlich abgesehen – in der Einführung werden nochmal die wichtigsten Fakten zusammengestellt.

【追記 2022. 1.18: 数学が好きな方で初等数学を愛好する方は少なくないと思う。評者もその一人であり、美しい幾何や数論の定理、面白い積分計算や特殊関数の積分表示・積分公式を目にすると、その面白さ・美しさに魅せられ、さらに詳しく知りたいという気持ちを抑えられない。本橋洋一先生はその書『解析的整数論Ⅱ』（朝倉書店、2011）の中で「特殊函数の積分表示や積分公式なる宝石の数々を慈しむべし。有用性もさることながら何よりも美しい。付される数学者、物理学者、天文学者、工学者等々の名と共に真に華やかである。恐らく彼らは専らその美に魅され採集に励んだのであろう」と記されている（同書、46頁）。工学者である本書の著者Paul J. Nahinも、積分計算の面白さ・美しさに魅せられその採集に励まれたのであろう。本書に目を通せば、「先人の叡智の結晶」=「宝石」である数々の積分計算・積分公式を知り得る喜びに満たされるのではなかろうか】月刊誌「数学セミナー」（2021年11月号）の特集記事「エレガントな積分計算」でその存在を知った本書、抜群に面白いテキストである。定積分を計算する手法の多彩さ、着想の素晴らしさ、などその計算を行なう＜楽しさ＞が全体に溢れており、数学ファンだけでなく、数理科学や工学などで定積分を研究や仕事で扱っている方々も主要な対象読者とされている。このことは手法の数学的な厳密性を深く追求しないという本書の叙述姿勢にも現れている(*1)。本書を一読して印象に残ったことを以下に述べてみたい。(1) 面白く興味深い定積分が目白押し本書では面白い定積分計算がオンパレードである。まず典型的なものとして以下の三つを取りあげたい（その他の面白く興味深い例は、(2)および付記(*2)で述べる）。(1-1) (0<a, b) I(a,b) = ∫(0~∞) cos(ax)/(x^2+b^2) dx = {π/(2b)}・exp(-ab) （等式(3.1.7)）「ラプラスの積分」として知られている美しい結果である。I(a,b)を変数aの関数とみてそれが満たす微分方程式と初期条件から計算する方法をはじめ、フーリエ変換のユニタリ性（プランシュレルの定理）を用いるもの(C7.7)、ラプラス変換を用いるもの(C7.15)、コーシーの積分公式を用いるもの（8.7節）などが紹介されており、定積分計算を行なう手法の多彩さを実感できる好例である【この両辺を変数aで微分すると ∫(0~∞) xsin(ax)/(x^2+b^2) dx = (π/2)・exp(-ab)が、変数bで微分すると ∫(0~∞) cos(ax)/(x^2+b^2) ^2dx = π(1+ab)/{4b^3・exp(ab)} が導かれる】。(1-2) (0<a<1) I(a) = ∫(-∞~∞) exp(ax)/(1-exp(x)) dx = π/tan(πa) （等式(8.6.9)）複素積分（コンター積分）を用いる方法と実解析的な方法の二通りの方法が紹介されている。後者の方法は8.10節で述べられており、この定積分がガンマ関数の対数微分であるディガンマ関数ψ(a)の関数等式: ψ(1-a) - ψ(a) = π/tan(πa)と（またΓ関数の相補公式: Γ(a)Γ(1-a) = π/sin(πa)とも）同値であることが分かり非常に興味深い。この積分で被積分関数の分母を(1+exp(x))とした　∫(-∞~∞) exp(ax)/(1+exp(x)) dx = π/sin(πa)が、1/(1+x)のメリン変換として有名な等式: ∫(0~∞) x^(a-1)/(1+x) dx = π/sin(πa)でx=exp(t)と変数変換した結果であると知れば、更に興味深く感じられると思う（等式(8.7.9)、(8.7.10)参照）。(1-3) (0<s<1、γはオイラー定数) ∫(0~∞) x^(s-1)・(logΓ(1+x)+γx)/x^2 dx = {π/sin(πs)}・{ζ(2-s)/(2-s)} （等式(6.7.11)）この積分はRamanujan’s Master Theorem (RMT)と呼ばれる定理の適用例として紹介されている。テイラー展開できる関数f(x) = Σ(0≦k) (-1)^k・λ(k)・x^k/k! の「メリン変換 ∫(0~∞) x^(s-1)f(x) dxはΓ(s)λ(-s)に等しい」という定理がRMTである。logΓ(1+x)+γxのテイラー展開を（ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示の対数から導かれるリーマンゼータ関数が現れる）美しい等式: logΓ(1+x)+γx = Σ(2≦k) (-1)^k・ζ(k)/k・x^kで表示し、RMTに挿入してこの定積分が得られることが示されている【RMTの別の適用例を付記(*3)で述べる】。(2) 経験者にとっても初見あるいは手強いと感じる定積分が数多く紹介されている例えば以下の定積分とその計算方法を評者は本書で初めて教えられた【これらの結果と導出方法を知るだけでも、本書を読む価値は十分にあると思う】。・∫(0~a) log(x+a)/(x^2+ a^2) dx = (π/8a)・log(2a^2) （「セレの積分」と呼ばれる美しい等式である。式(2.2.5)）・∫(0~∞) log(x)/(1+x^3) dx = -(2π^2)/27 （ハーディが非常に巧妙な方法で計算した面白い定積分である。3.5節の最後の問題）・(0<a, b) ∫(0~∞) {exp(-x^a) - exp(-x^b)}/x dx = γ(a-b)/ab （γはオイラー定数。この等式も素晴らしい。式(5.4.6)）・∫(0~π/2) arccos{cos(x)/(1+2cos(x))} dx = 5π^2/24 （「コクセターの積分」と呼ばれ、ハーディによる物凄い計算が紹介されている。6.3節）・(1/π^3)∫((0~π)^3)) 1/(1-cos(u)cos(v)cos(w)) dudvdw = Γ^4(1/4)/(4π^3) （「Watson/van Peypeの3重積分」と呼ばれるものの一つである。G. N. Watsonによる巧妙な積分計算を鑑賞できる素敵な問題である。式(6.5.1)）・(0 < a) ∫(0~π/2) log^2(a・sinx) dx = ∫(0~π/2) log^2(a・cosx) dx = π^3/24 + (π/2)log^2(2/a) （式(7.3.2)）・(0 < a) ∫(0~π/2) log(a・sinx) log(a・cosx) dx = -π^3/48 + (π/2)log^2(2/a) （式(7.3.3)）（この二つはオイラーのlog-sine積分を2次に拡張したもので、ウルステンホルムによって初めて計算された定積分である。手法も結果も素晴らしい）・(0<n) ∫(0~∞) x^(n-1)・exp(-px)・cos(qx) dx = {Γ(n)/(p^2+q^2)^(n/2)}・cos{n・arctan(q/p)} （オイラーによる非常に美しい等式である。等式の両辺のcosをsinで置き換えた等式も成立する。式(7.5.6)、(7.5.7)）・∫(0~∞) cos(x)/(exp(x)+exp(-x)) dx = (π/2)/(exp(π/2)+exp(-π/2)) （両辺の分母の対称性が印象的な定積分である。式(8.7.20)）(3) 数理科学の問題として興味深いものが数多く取り上げられている例えば、「two dart problem」（半径1の円板の中に2本のダートを投げた時に、2本のダートの着地点間の距離が1以上である確率を求める問題。1.8節の最後にある難問である。答えは3√3/(4π)）、「Trier’s Double Integral」（正方格子の縦横の各方向に1オームの抵抗を配置した場合、原点(0,0)と格子点(m,n)との間の抵抗R(m,n)を求める問題。2.5節）、「Brachistochone（ブラキストクローネ）問題」（平面上の半径Rの円周上の2点（極座標で）(R,0)と(R,π/3)をその中に摩擦なく動くビーズが入ったワイヤで繋ぎ、ビーズに円の中心に置いた質点との間で中心力だけが働く場合、この2点間をビーズが移動する時間を最短にするワイヤの形状を問う問題。(C6.5)）、などとても面白く興味深い。特に最後の＜最短時間線＞を求める問題の動径r(θ)に関するオイラー-ラグランジュ方程式が5(r’)^2 + 3r^2 = 2rr”で表され、この微分方程式を巧妙に積分できることが示されており非常に印象的である(*4)。上述したことから、定積分を計算するための常套手段（例えば、①パラメータを含む定積分に拡張・変形し、積分記号下で微分することにより計算する。微分方程式に帰着する場合には、初期条件を用いて求積する。②被積分関数を積分で表示する形に変形し、2重積分の積分順序を交換して計算する。③複素解析でのコンター積分や留数定理を用いて計算する）が、数多くの例を含めてバランスよく叙述されていることが理解できると思う。理工系の方ならば、必要に応じて何時でも参照できる一冊として、持っていて絶対に損はないテキストと言える。オイラーやリーマンなどの大数学者の業績の凄さ、ハーディやファインマンなどの定積分計算の名手の技巧の素晴らしさを知ることができ、「解析学の基礎をなす微分積分学は人類の叡智の結晶である」という言葉が正鵠を射ていることを心底から実感できると思う。抜群に面白い超お薦めの一冊である。【付記】レビューの記述を補足する事柄を以下に記す。(*1) 本書では、積分記号∫とΣ、lim、微分などの演算との順序交換（の数学的厳密性）にあまり拘らず、計算を実行して出てきた答えをMATLABなどの積分計算ソフトで数値的に検証し、その妥当性を確認するという基本方針が採られている。以下に引用する森毅『現代の古典解析』（現代数学社、1970）と定積分計算に対する基本姿勢が同一であり微笑ましい【コメント: 森先生が言明された1960年代後半と較べ、積分計算を検証できる環境が今日では格段に向上していることに留意したい。例えばオンラインで定積分計算を行なう”Integral Calculator”という優れたソフトにPCからアクセスできる】。----------「正直のところは、たいてい、チョイト目をつぶってエイヤと順序交換をすることが多いのである。たいていはそれでも間違わない。自然はたいてい「一様性」を保証しているらしい。（中略）じつは、もっとインチキくさい方法は、おかまいなしに順序交換をして、おかしな結果が出てきたら、それから心配することにしてもよい」（『現代の古典解析』、第13章 164頁）----------(*2) 本書で面白いと思った問題を列挙したいと思う。・f(φ) := √{(1-(√t)sin(φ))/(1-(√t)cos(φ))}として、I(t) = ∫(0~2π) (cos(φ)+sin(φ)) f(φ) dφが、0≦I(t) (0≦t≦1)という不等式を満たすことを証明する問題（(C1.8)）・∫(0~∞) 1/(bx^4 + 2ax^2 + 1) dx = (π/2√2)・1/{√(a+√b)} （「double-root solution」（二重ルート解）と呼ばれる美しい公式である。式(2.6.9))・(0 < a, b) ∫(0~∞) (exp(-ax) - exp(-bx))cos(x)/x dx = log(√(b^2+1)) - log(√(a^2+1)) （ (cos(ax) - cos(bx))/xのラプラス変換である式(3.4.5)と「フルラニの積分公式」を活用する面白い問題である。(C3.13)）・(1<q) ∫(0~∞) sin(x^q)/(x^q) dx = Γ(1/q)cos(π/2q)/(q-1) （式(4.3.7)。この積分計算は素晴らしい。後述する被積分関数の分子をsin^q (x)で置き換えた問題との比較という意味でも非常に興味深い定積分である）・∫(0~∞) x^(s-1)/(exp(x)-1) dx = Γ(s)ζ(s) (式(5.3.4))、∫(0~∞) x^(s-1)/(exp(x)+1) dx = {1-2^(1-s)}Γ(s)ζ(s) (式(5.3.8)) （これらは1/(exp(x)-1)と1/(exp(x)+1)のメリン変換であり、最初の式はリーマンに由来するゼータ関数の「第1積分表示」として良く知られたものである）・∬((0~1)^2) (xy)^a/(1-xy) dxdy = Σ(1≦n) 1/(n+a)^2 (式(5.3.1)) （フルヴィッツゼータ関数の積分表示である。特にa=0の場合、リーマンゼータの特殊値ζ(2)の一つの積分表示であるが、この2重積分を直接評価し積分値である(π^2)/6を導出する巧妙な方法が7.4節で解説されており素晴らしい！）・(1≦p,q 自然数として) ∫(0~∞) {sin(x)}^p/(x^q) dx　（この積分を有理関数の定積分に変換する素晴らしい等式(7.7.1)、(7.7.2）が紹介されている。個人的に本書で最も感銘を受けた箇所の一つである）【コメント: 評者はI(n) = ∫(0~∞) (sin(x)/x)^n dxをnの関数として具体的に表示できないか関心があった。金子晃先生の『基礎と応用 微分積分Ⅱ』ではI(4)までの計算結果が紹介されており、I(5)を手計算で求めてみたが結果に自信が持てず、その書のレビューに記述できなかった。本書の方法でI(5)=115π/384、I(6)=11π/40、I(7)=5887π/23040、I(8)=151π/630と求めることができ、その意味で非常に印象に残った問題である】・∫(0~∞) exp(cos(x))・sin{sin(x)}/x dx = π(e-1)/2 (C8.7)、∫(-∞~∞) (x^2)/(x^2+a^2)^3 dx = π/8(a^3) (C8.8)　（この2問は初等的な微積分の手法とコンター積分（留数解析）の手法の双方で計算でき、それらの手法を比較検討できる面白い問題である） (*3) （log(1+x)/(1+x)のメリン変換）log(1+x)/(1+x)のテイラー展開は　-Σ(1≦k) (-1)^k・Hk・x^k （Hkはk次の調和級数、即ち１からkまでの整数の逆数和）であるので、λ(k)= - Hk・k! = - Hk・Γ(k+1)とおき、Hkに関する等式: Hk = γ+ψ(k+1) （p.210の5行目の式でz=k+1とおく）を用いてRMTを適用すると、∫(0~∞) x^(s-1)・log(1+x)/(1+x) dx = Γ(s)λ(-s) = Γ(s) (-H-s)・Γ(1-s) = - (γ+ψ(1-s))・π/sin(πs)となる。特にs=1/2の場合、x=t^2とおくとI = ∫(0~∞) log(1+t^2)/(1+t^2) dt = -1/2・(γ+ψ(1/2))・π/sin(π/2) = -1/2・(γ+ψ(1/2))・π、ψ(1/2) = -γ-2log2に注意して I = π・log2となり、本書の等式(2.4.3)が再現される【この定積分がオイラーによる有名な等式: ∫(0~π/2) log(sinx) dx = ∫(0~π/2) log(cosx) dx = -(πlog2)/2と同値であることは、本書2.4節で述べられている通りである】。(*4) (追記: 2022.1.20) 「Brachistochone（ブラキストクローネ）問題」: 垂直平面上の2点を結ぶ＜最短時間線＞を求める問題として、サイクロイドがその解であることは良く知られており、わが国では「最速降下曲線」という名が定着している【「最短降下線」の方が相応しいように思われるが、今から変更するのは難しいであろう】。水平平面上でBrachistochone問題を考察している所が非常に興味深く、その変分問題が巧妙な変数変換を介して求積できることが示されており、その素晴らしさに感銘を受ける方は少なくないと思う。